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一文读懂椭圆曲线加密学

前言:本文是关于椭圆曲线加密的非常基础的介绍。内容虽然基础,但对于椭圆曲线加密的门外汉来说,简单易懂,适合于初学者。本文作者Lane Wager,来源于medium,由“蓝狐笔记”公众号社群的“王泽龙”翻译。

这是一篇椭圆曲线密码学的基本介绍。我假设本文的绝大多数读者来这里的目的是:了解为什么椭圆曲线加密是一种有效的加密工具,以及它为什么有效。我试图用通俗的方式来解释它,我将跳过论证与实现的细节,转而聚焦在其运行原则上。

一文读懂椭圆曲线加密学

椭圆曲线示例

它是做什么的?

椭圆曲线加密是一种加密数据方法,只有特定人,才能对其进行解密。它在现实生活中有许多应用场景,但其主要应用在于加密互联网上的数据与流量。例如,椭圆加密曲线可以用于确保一封邮件何时发送,且除了收件人外无人可以读取该邮件。

椭圆曲线加密是公钥加密技术

公钥加密风情万千,椭圆曲线加密只是其中一种风味。其他加密算法还有RSA,DiffieHelman,等等。我将简单交代公钥加密的大体背景作为开头,进而展开我们后续的阐述,以此更深入理解椭圆曲线加密。有空时,你可以花些时间深入研究公钥密码学知识。

如下图所示,公钥加密允许以下过程发生:

一文读懂椭圆曲线加密学http://itlaw.wikia.com/wiki/Key_pair

上图展示了两个钥匙,一个公钥和一个私钥。这些密钥用于加密和解密数据,这使得世界上的任何人都可以在传输时看到加密数据,但无法读取信息。

让我们假设Fcebook将收到来自特朗普的私密贴。Facebook需要能够确保特朗普通过网络发文时,没人(包括N S A或互联网服务供应商)可在其中阅读该消息。使用公钥加密后,整个数据传输过程呈现如下状态:

l特朗普告知Facebook他将向后者发送一篇私密帖

lFacebook将其公钥发送给特朗普

l特朗普使用公钥加密其帖子:

“我喜爱福克斯(Fox)与朋友们”+公钥=“s80s1s9sadjds9s”

l特朗普只把加密后的信息发送给Facebook

lFacebook使用他们的私钥解密消息:

“s80s1s9sadjds9s” +私钥=“我喜爱福克斯(Fox)与朋友们”

如你所见,这是一项非常有用的技术。以下是其中的一些要点:

l公钥可发送给任何人,它是公开的

l私钥必须被妥善保管,因为如果某人获取了私钥,他们便可以解密信息

l计算机可以迅速地用公钥来加密消息,并用私钥来解密消息

l如果没有私钥,计算机可能需要花费极长的时间(数百万年)来破解加密后的消息

它是怎样运作的:陷门函数

所有公钥加密算法的关键在于它们各自都有其独特的陷门函数。陷门函数只能被单向计算,或者至少只能容易地单向计算(使用现代计算机在不到几百万年的时间内)

不是陷门函数:A+B=C

如果被给到A与B,我就可以算出C。问题是如果我被给到B与C,我也可以算出A。并非是陷门函数。

陷门函数:

“我喜爱福克斯(Fox)与朋友们”+公钥=“s80s1s9sadjds9s”

如果我被给到“我喜爱福克斯(Fox)与朋友们”+公钥,我可以得出“s80s1s9sadjds9s”,但是如果我被给到“s80s1s9sadjds9s”与公钥,那我无法得出信息:“我爱福克斯(Fox)与朋友们”。

在RSA(可能是最流行的公钥系统)中,陷门函数主要取决于将大数字纳入其主要因子的难度。

公钥:944,871,836,856,449,473

私钥:961,748,941 and 982,451,653

在以上的例子中,公钥是一个非常大的数字,私钥是公钥的两个主要因子。这是陷门函数的一个好的例子,因为在私钥中很容易将多个数字相乘以获取公钥,但如果你拥有的只是公钥,那将花费一台电脑很长的时间才能重建私钥。

注意:在真实的加密中,私钥需要200+位数以上的长度以确保安全。

什么椭圆曲线加密与众不同

人们使用椭圆曲线加密的理由跟RSA完全相同。它生成公私钥对并允许两方安全沟通。然而,椭圆曲线加密有一胜过RSA的优势。椭圆曲线加密中256位数的密钥所提供的安全性与RSA算法中3072位数密钥所提供的安全性相同。这意味着在资源有限的系统中,如智能手机、嵌入式电脑、加密网络,椭圆曲线加密相较于RSA加密算法,它使用的硬盘空间和带宽不到RSA算法的10%。(蓝狐笔记译注:也就是说,椭圆曲线加密比RSA算法在资源有限的情况下,更省资源,可行性更高。)

椭圆曲线加密陷门函数

这可能是绝大多数读者阅读本文的原因。这是椭圆曲线加密有别于RSA加密算法的部分,也是它的特殊之处。陷门函数类似于池中的数学游戏。我们从曲线上的某一点开始。我们使用一个“点函数”(dot function)来发现一个新的点。不断重复“点函数”并围绕曲线跳跃(hop),直到我们最终抵达最后一个点上。让我们看看以下整个算法。

一文读懂椭圆曲线加密学

https://arstechnica.com/information-technology/2013/10/a-relatively-easy-to-understand-primer-on-elliptic-curve-cryptography/2/

l从A点开始;

lA 点 B=-C(从A到B点画一条线并最终落在-C点)

l从-C到C跨X轴反射;

lA 点 C=-D(从A点向C点画一条线并最终落在-D)

l从-D到D跨X轴反射;

lA 点 D=-E(从A向D画一条线并最终落在-E)

l从-E到E跨X轴反射

这是一个伟大的陷门函数,因为如果你知道哪里是起点(A)以及需要多少跳才能达到终点E,那么找到终点会很容易。从另一方面来说,如果你知道的只是起点与终点的位置,那么,要发现需要多少跳才能抵达终点几乎是不可能的。

公钥:起点A,终点E;

私钥:从A到E的跳数

问题?

以下是我初次了解椭圆曲线加密时所产生的相关问题。希望我能妥善地解决它们。

如何发现第二点?如果点函数(dot function)只是在两点间画一条线难道要第二点来帮助开始吗?

回答:不需要。第二点(我们将其称为下图中的-R点)实际上是P点函数P(让我们假设第一个点被称为P)

P点函数P=-R

那么,什么是P点函数P?它实际上只是P的切线。请看以下图片:

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https://devcentral.f5.com/articles/real-cryptography-has-curves-making-the-case-for-ecc-20832

如果点函数产生一条线路会走到某个极端,会发生什么?

如果线没有抵达靠近原点的曲线,我们实际上可以定义一个最大X值,其中线将回绕并从头开始。有关示例,请参见下图。

一文读懂椭圆曲线加密学

https://arstechnica.com/information-technology/2013/10/a-relatively-easy-to-understand-primer-on-elliptic-curve-cryptography/2/

我理解了暗门函数,但实践中公私钥是如何创建的它们是如何与要加密的数据一起使用的?

这是一个好问题,但它要求更深入的答案。在这篇文章中我给出了关于RSA与椭圆曲线加密较为通俗的解释。然而,还有更多技术资源,我期望你去研究它们。

——

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原文始发于微信公众号(蓝狐笔记):

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